Sprężyna – najprostszy mózg symulacyjny

single-01

Czym są i jak wyglądają sprężyny wie nawet małe dziecko. Nie wszyscy jednak wiedzą, że badania nad nimi przyczyniły się do rozwoju nie tylko fizyki, ale i symulacji komputerowych. Właściwie można powiedzieć, że sprężyna stała się kamieniem węgielnym pierwszego modelu do analizy Metodą Elementów Skończonych.
Dzisiejszy wpis prawdopodobnie przedstawia rzeczy oczywiste i trywialne dla osób związanych z symulacjami. Mam jednak nadzieję, że okaże się wystarczająco rzeczowy by zaciekawić osoby niezwiązane z tematem. Enjoy!

Czym jest siła?

Mimo, że intuicyjnie wiemy czym jest siła to tak naprawdę dość ciężko w prostych słowach podać jej definicje. Sił jako takich, ani nie widzimy, ani nie słyszymy, ani tak naprawdę jej nie czujemy. To co czujemy jest w zasadzie efektem oddziaływania sił na nas.
Jednak samo oddziaływanie to coś, co już powoli naprowadza nas na to czym jest siła. Wszak siły powstają tam gdzie dwa obiekty oddziałują na siebie (mowa o mechanice strukturalnej). To z kolei jest coś o czym pewnie każdy słyszał na lekcji fizyki, gdy byliśmy zmuszani do wykucia zasad dynamiki Newtona. To właśnie Isaac Newton stwierdził, że otaczający nas świat hołduje zasadzie jak Kuba Bogu tak Bóg Kubie. Ubierając zasadę w słowa, jeżeli z jakiegoś powodu postanowimy kopnąć piszczelem w metalową rurę to powinniśmy się spodziewać reakcji w postaci siły ze strony metalowej rury.

Powyższy filmik krąży po internecie od bardzo dawna, a zamieszczona wersja jest mocno okrojona... nie trudno jednak jest się domyślić jakie słowa padły z ust tego dzieciaka

Newton jako pierwszy określił przy pomocy języka matematyki czym tak naprawdę jest siła. W jego odczuciu siłą było wszystko co powoduje zmianę prędkości jakiegoś obiektu. Taka definicja jest intuicyjnie przystępna także dla nas. Przykładowo, naciskając pedał gazu w samochodzie czujemy, że jakaś magiczna siła popycha go do przodu, a jego prędkość wzrasta. Co ciekawe powszechnie przyjęło się mówić, że nadmierna prędkość zabija. W zasadzie to nie prędkość zabija tylko nagła jej utrata. Nagłe zmniejszenie wartości prędkości objawia się tym, że oddziałują na nas siły zdolne łamać ludzkie kości.

Kim był Robert Hooke i jak postrzegał czym jest siła?

No dobrze, ale czy naciskając na czubek naszego nosa zwiększamy prędkość głowy? Coś nam podpowiada, że raczej nie. Wiedział o tym Robert Hooke – kolejny geniusz żyjący w czasach Newtona. Co ciekawe, Hooke przyczynił się w nie mniejszym stopniu do rozwoju nauki co Newton, jednak nie każdy o nim słyszał. Brał udział w budowie pierwszej pompy próżniowej, teleskopów, mikroskopów i innych urządzeń mechanicznych. Badał także położenie planet i budowę roślin. To dzięki niemu komórkę roślinną nazywamy słowem komórka (z ang. cell), bo przypominały mu klasztorne cele, w których mieszkają mnisi. Dlaczego zatem mało kto o nim słyszał? Otóż Hooke jako pierwszy odważył się skrytykować tezę Newtona, wg której światło miało budowę korpuskularną. Zarówno Hooke jak i kilkoro innych naukowców twierdziło, że światło ma budowę falową. Dziś wiemy, że oboje mieli rację tylko w połowie. Jednak w tamtych czasach Newton w ramach zemsty starał się wymazać nazwisko Hooke’a z kart historii w każdy możliwy sposób. Nakazał zniszczyć jego prace, urządzenia, a także obrazy i podobizny. Więcej o tej ciekawej historii obu naukowców przeczytać można na SparkNotes.com i na ShipsEducation.net

Hooke1678 BLOG

Wracając jednak do tematu siły. Prawdopodobnie gdy Hooke pracował nad budową zegara, odkrył dość osobliwe zachowanie sprężyn. Zauważył, że sprężyny zmieniają swoją długość proporcjonalnie do przyłożonej masy. Przykładowo, jeśli obciążenie sprężyny ciężarkiem 0.5 kg powoduje jej wydłużenie o 5 mm, to możemy oczekiwać, że obciążając tą samą sprężynę ciężarkiem 1 kg wydłużenie będzie wynosić 10 mm.

    \[0.5kg \rightarrow 5mm\]

    \[1.0kg \rightarrow 10mm\]

Co ciekawe, dokładnie takie samo zachowanie wykazują sprężyny, które są ściskane.
W oparciu o to spostrzeżenie Hooke sformułował definicję tzw. siły sprężystości, której wartość określona jest wzorem

(1)   \begin{equation*}F = k \Delta x\end{equation*}

W tym wzorze zmienna k odnosi się do sprężystości (lub jak kto woli – sztywności) sprężyny, a \Delta x jest zmianą długości sprężyny.

Eksperyment

Głównym powodem dla którego tworzę tę stronę internetową nie jest opisywanie kto i gdzie badał sprężyny, ale chęć pokazania, że nauka i symulacje komputerowe nie są oderwane od rzeczywistości. W tym kontekście sprężyna jest znakomitym łącznikiem pomiędzy światem rzeczywistym, a wirtualnym. Na bazie prostego doświadczenia postaram się to udowodnić. W zaciszu kuchennym (tytuł bloga symulacje inżynierskie od kuchni nie jest przypadkowy) zbudowałem imitację wagi kuchennej. Następnie, przy pomocy dwóch ciężarków, doniczki i skrzynki narzędziowej przeprowadziłem pomiary jak na poniższym filmiku.

Wartość masy zmierzonej na wadze elektronicznej pomnożyłem przez przyspieszenie ziemskie, aby uzyskać wartość siły ciężkości. W ten sposób obliczyłem siłę działającą na sprężynę używając definicji siły Newtona. Mnie jednak interesowała wartość siły w sprężynie. Tutaj z kolei pomogła mi zasada akcji-reakcji – skoro oddziałuję na sprężynę np. siłą 10 N, to sprężyna oddziałuje na mnie z taką samą wartością tylko z przeciwnym zwrotem. Na bazie tak przekształconych wyników stworzyłem poniższy wykres.

Przedmiot Waga [kg] Siła ciężkości [N] Ugięcie sprężyny [mm]
Doniczka 0.416 4.08
1 Ciężarek + Doniczka 1.416 13.89 13.0
2 Ciężarki 2.065 20.26 18.0
2 Ciężarki + Doniczka 2.481 24.33861 20.0
Skrzynka + Doniczka 3.529 34.62 29.0
112 BLOG

Na wykresie czerwonymi krzyżykami zaznaczone są wartości zmierzone w czasie eksperymentu. Okazuje się, że jeśli połączymy prostą linią punkt (0,0) z ostatnią zmierzoną wartością to pozostałe punkty leżą bardzo blisko tej linii. Co więcej tę prostą możemy określić funkcją liniową y=1.2032x + 0.6298. Okazuje się, że wartość 1.2032 określa sztywność sprężyny, czyli wartość k z równania F=k \Delta x. Według katalogu firmy, w której kupiłem sprężynę użytą w eksperymencie, laboratoryjnie określona sztywność wynosi 1.19 N/mm. Jak widać nawet w warunkach kuchennych można z powodzeniem oszacować takie wartości.

Ktoś mógłby zapytać – a komu to potrzebne?

W przypadku symulacji komputerowych, w których analizujemy odkształcanie ciał stałych, sztywność jest podstawową cechą obiektów którą należy zdefiniować. Przy czym należy pamiętać, że na wartość sztywności wpływ będzie miało mnóstwo czynników np. materiał z jakiego wykonany jest obiekt czy jego geometria.
W kontekście rozpatrywanej sprężyny (będącej również ciałem stałym), nie brałem pod uwagę z czego jest zrobiona, ani np. ile ma zwojów. Mimo to udało mi się określić jej sztywność za pomocą jednej liczby 1.2032. Ta prostota sprawiła, że naukowcy zdecydowali się wykorzystać zasadę działania sprężyny by stworzyć podwaliny symulacji komputerowych. Można powiedzieć, że sprężyna stała się najprostszym mózgiem symulacyjnym. Poniższy filmik przedstawia w jaki sposób działa sprężyna wirtualna.

Czym jest prawo Hooke’a?

Jak łatwo się domyślić, ilość rzeczy które można zbudować przy pomocy sprężyn jest dość ograniczona. Prawdopodobnie wiedział o tym także Robert Hooke badając sprężyny w swoim laboratorium. On jednak jako pierwszy zauważył, że cała otaczająca nas materia w pewnych warunkach zachowuje się poniekąd jak sprężyna. Pomimo, że naukowcowi nie udało się zamienić przeczucia w formułę matematyczną to na jego cześć nazwano prawo, które opisuje odkształcenia ciał w zakresie małych wartości sił. Prawo to stwierdza, że odkształcenia ciała są proporcjonalne do przyłożonej siły, ale tylko w pewnych granicach odkształceń i nie dla wszystkich materiałów.

Aby zilustrować zasadę działania prawa Hooke’a, postanowiłem ponownie wrócić do kuchni. Część z was na pewno próbowała giąć aluminiowe łyżeczki (ja zniszczyłem ich co najmniej kilka). Jeśli zbyt słabo naciśniemy na czubek łyżeczki to uda nam się ją ugiąć, ale później wróci ona do początkowego kształtu. Kiedy jednak naciśniemy z większą siłą wtedy łyżeczka ugnie się, ale przyjmie też nowy kształt. Prawo Hooke’a służy właśnie do opisu zachowania ciał dla pierwszego etapu, w którym nie zostaje zmieniony początkowy kształt obiektu.

Podsumowanie

Jeśli miałbym jakoś podsumować ten wpis, to wydaje mi się, że poniższa animacja dobrze to robi. Przedstawia ona całe piękno symulacji w kontekście opowiedzianej historii. Dzięki dociekliwym obserwacjom Roberta Hooke’a, dziś możemy tworzyć symulacje trójwymiarowych obiektów takich jak właśnie poniższa sprężyna. Oczywiście, teoria potrzebna do stworzenia takiego modelu jest zdecydowanie bardziej skomplikowana niż równanie F=k \Delta x. Najpiękniejszy w tym jednak jest fakt, że pomimo tych różnic, wyniki obu modeli są niemalże identyczne. Dla siły równej F=20.26 N, maksymalne ugięcie modelu 3D wynosi 18.77 mm podczas gdy analogiczny model sprężyny wirtualnej ugiął się o 17.023 mm.